Algèbre linéaire Exemples

$- 3 x + 8 y = 8$ , $3 x - 9 y = - 15$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 3 & 8 & 8 \\ 3 & - 9 & - 15 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 8 & - \frac{1}{3} \cdot 8 \\ 3 & - 9 & - 15 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{8}{3} & - \frac{8}{3} \\ 3 & - 9 & - 15 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{8}{3} & - \frac{8}{3} \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 9 - 3 (- \frac{8}{3}) & - 15 - 3 (- \frac{8}{3}) \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{8}{3} & - \frac{8}{3} \\ 0 & - 1 & - 7 \end{array}]$

Étape 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{8}{3} & - \frac{8}{3} \\ - 0 & - - 1 & - - 7 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{8}{3} & - \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \cdot 1 & - \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \cdot 7 \\ 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 16 \\ 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 16$

$y = 7$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(16, 7)$

Étape 5

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 16 \\ 7 \end{array}]$